คณิตศาสตร์กับการแก้ปัญหา

             ชีวิตประจำวันของทุกคนต้องนึกคิด และจินตนาการต่าง ๆ สิ่งที่สำคัญคือ ทุกคนต้องการกระทำในสิ่งที่ดีที่สุด ผู้ลงทุนการค้าก็หวังให้ได้กำไรสูงสุด ต้นทุนการผลิตต่ำ ขายสินค้าได้ดี การทำงานของทุกคนจึงต้องเผชิญกับปัญหา และหาทางแก้ปัญหาให้ดีที่สุด
ชีวิตตั้งแต่ตื่นจนกระทั่งถึงเวลานอนอีกครั้ง ทุกคนจะต้องตัดสินใจ หาทางเลือก เลือกทำในสิ่งที่ดี ที่ถูกต้อง เช่น เมื่อเดินทางมามหาวิทยาลัย บางคนมีทางเลือกได้หลายทาง เช่น จะขึ้นรถเมล์สายใดดี และจะลงต่อรถที่ใด เพื่อว่าจะได้เดินทางได้เร็วและสะดวก เมื่อมาที่โรงอาหาร ก็มีอาหารให้เลือกมากมาย จะเลือกทานอะไรดี เงื่อนไขของการตัดสินใจจึงมีมากมาย จะเลือกตามราคา เลือกตามความอยาก เลือกเพราะอยากลอง จะเห็นว่า ทุกขณะสมองของเราได้คิดและแก้ปัญหาอยู่ตลอดเวลา เรามีการตัดสินใจและกระทำ เมื่อกระทำแล้วก็มีการประเมินผลหรือเรียนรู้ไว้เป็นประสบการณ์

               หากพิจารณาถึงองค์กร ทุกองค์กรมีวัตถุประสงค์ มีผู้บริหารที่จะบริหารองค์กรให้องค์กรบรรลุวัตถุประสงค์ ผู้บริหารองค์กรจึงต้องเกี่ยวข้องกับการตัดสินใจ แก้ปัญหา วางแผน และกำหนดนโยบาย ผู้บริหารต้องหาข้อมูล และใช้ประสบการณ์ในการดำเนินการ เพื่อตัดสินใจกำหนดทางเลือก ผู้บริหารขององค์กรจึงเป็นบุคคลที่มีบทบาทที่สำคัญในการนำองค์กรให้บรรลุวัตถุประสงค์ การตัดสินใจผิดพลาดอาจทำให้เกิดผลเสียหายได้ ดังนั้น การตัดสินปัญหาจึงต้องอาศัยหลักการและข้อมูล เพื่อเพิ่มความน่าเชื่อถือของทางเลือก และที่สำคัญคือ การลดการตัดสินใจที่ผิดพลาด
ในระดับประเทศยิ่งต้องมีการตัดสินปัญหา และดำเนินการต่าง ๆ เพื่อผลประโยชน์ของประเทศ การตัดสินใจของคณะผู้บริหารประเทศ โดยเฉพาะผู้กำหนดมาตรการต่าง ๆ เพื่อเอื้ออำนวยประโยชน์สูงต่อส่วนรวม ดังจะ เห็นได้จากการตัดสินใจที่ผิดพลาดจากการต่อสู้ประกันค่าเงินบาท ทำให้ประเทศชาติต้องสูญเสียเงินตราและทุนสำรองของประเทศไปมากมายมหาศาล และส่งผลทำให้เกิดวิกฤตเศรษฐกิจที่มีผลอย่างต่อเนื่อง การดำเนินการต่าง ๆ จึงขึ้นอยู่กับการตัดสินใจแก้ปัญหา และหาทางเอาชนะปัญหา และความซับซ้อน

              ลองนึกดูว่าเมื่อเราเล่นเกมหรือหมากรุกกับเพื่อน เราจะต้องคิดและแก้ปัญหาสถานการณ์ และสถานการณ์แต่ละครั้งอาจแปรเปลี่ยนไป

แบบมีโครงสร้าง (structure problem)

             ปัญหาในโลกนี้เป็นปัญหาที่เกิดจากการผสมผสานของตัวแปรจำนวนมาก มีทั้งตัวแปรที่มีรูปธรรมและไม่มีรูปธรรม ตัวแปรที่มีรูปธรรมได้แก่ วัตถุ เงิน สถานที่ เป็นต้น สำหรับตัวแบบที่ไม่เป็นรูปธรรม เช่น ความรู้สึก อารมย์ และสิ่งที่เป็นความคิด ความเข้าใจ ประสบการณ์ ซึ่งยากที่จะเขียนออกเป็นสูตรหรือสมการ สิ่งที่สำคัญคือ ปัญหาส่วนใหญ่เป็นปัญหาที่มีความซับซ้อน การแบ่งแยกปัญหาออกเป็นปัญหาที่มีโครงสร้าง และไม่มีโครงสร้าง จึงขึ้นอยู่กับตำแหน่งที่เกี่ยวโยงกับปัญหา นั่นเอง
            ปัญหาที่มีโครงสร้าง เป็นปัญหาที่สามารถผูกตัวปัญหาเป็นโมเดลได้ชัดเจน สามารถแทนสูตร สมการ หรือสร้างระบบการแทนปัญหา หาวิธีการแก้ปัญหาเพื่อให้ได้คำตอบ ปัญหาที่มีโครงสร้างเป็นปัญหาที่มีการศึกษา และสร้างรูปแบบทางคณิตศาสตร์ได้ การศึกษาทางคณิตศาสตร์สร้างหลักการพื้นฐานต่าง ๆ มากมายที่จะนำมาใช้ในการแก้ปัญหา ซึ่งศาสตร์ของการแก้ปัญหาและวิธีการก็มีผู้พัฒนาคิดค้นขึ้นมากมาย และยังคงพัฒนาต่อไป เช่น การหาผลลัพธ์ที่ดีที่สุด การหาคำตอบที่เป็นไปได้ และการสร้างทางเลือกที่ดี วิธีการแก้ปัญหาจึงเป็นการใช้วิธีการเชิงคำนวณอยู่มาก

              อย่างไรก็ดี การมีคอมพิวเตอร์ทำให้การคำนวณค่าต่าง ๆ คำนวณได้รวดเร็ว ปัญหาต่าง ๆ ที่แต่เดิมยากที่จะหาคำตอบได้ ปัจจุบันก็ใช้เครื่องคอมพิวเตอร์คำนวณหาคำตอบ ทำให้การประยุกต์ใช้ทำได้มากมาย เช่น การตรวจสอบบางอย่างทางการแพทย์ การประมวลผลงาน ก็เป็นสิ่งที่เกิดขึ้นจากการคำนวณ ปัญหาแบบมีโครงสร้างเป็นปัญหาที่มีเพียงส่วนน้อยนิดเมื่อเทียบกับปัญหาทั้งหมดที่เผชิญอยู่ในชีวิต แต่ปัญหาที่มีโครงสร้างก็สร้างความมั่นใจให้กับผู้ดำเนินการและตัดสินใจ เพราะมีความแน่นอนในหลักการทางวิชาการ ทำให้ได้คำตอบที่ถูกต้อง และให้ผลดีกับผู้ตัดสินใจ การเรียนรู้การแก้ปัญหาแบบมีโครงสร้างจึงต้องอาศัยหลักและทฤษฎีต่าง ๆ มากมาย
ลองนึกถึงโจทย์ปัญหาต่าง ๆ เช่น ถ้าจะเลือกของสองสิ่งที่ราคาต่างกัน จะเลือกอะไรดี โดยตัดความชอบออก เราก็จะต้องหาทางตัดสินปัญหา ถ้าเป็นปัญหาแบบโครงสร้างเราก็คงดูที่ราคาและประโยชน์ใช้สอย ตลอดจนคุณภาพของสินค้านั้น ถ้าประโยชน์ใช้สอยสามารถบอกเป็นตัวเลขได้ คุณภาพก็บอกถึงอายุการใช้งานได้ การตัดสินใจเลือกคงไม่ยาก เพราะเป็นปัญหาแบบโครงสร้าง แต่เราจะพบว่ามีเงื่อนไขความพอใจ หรือเงื่อนไขบางอย่างไม่สามารถประเมินเป็นตัวเลขได้ จึงยากที่จะสร้างโมเดลทางคณิตศาสตร์เพื่อคิดคำนณหาผลลัพธ์ได้

ตัวอย่างของปัญหาโครงสร้าง

          เช่น หากเราเป็นผู้ผลิตสินค้าชนิดหนึ่ง โดยตั้งราคาขายไว้ที่ 100 บาทต่อหน่วย การลงทุนผลิตสินค้าชนิดนี้ประกอบด้วยต้นทุนคงที่ เช่น ค่าแม่พิมพ์สำหรับฉีดพลาสติก ค่าดำเนินการออกแบบผลิตภัณฑ์ ต้นทุนคงที่ใช้ทั้งหมด 200,000 บาท การผลิตยังต้องใช้วัตถุดิบซึ่งเป็นต้นทุนผันตามการผลิต โดยมีต้นทุนแปรผันส่วนนี้เท่ากับ 20 บาทต่อหน่วย

คำถามมีอยู่ว่า จะต้องผลิตและขายให้ได้เท่าไรจึงจะคุ้มทุน โดยสมมุติว่า จุดต่ำสุดที่ผลิตและขายได้ทั้งหมด

         ปัญหานี้เป็นปัญหาการหาจุดคุ้มทุนที่รู้จักกันดี ที่สามารถสร้างโมเดลทางคณิตศาสตร์ได้ง่าย โดยให้

          P เป็นราคาขายต่อหน่วย

          R เป็นรายรับจากการขาย

          N เป็นจำนวนที่ผลิต

ดังนั้น R =   PN

          และ F เป็นต้นทุนคงที่

          และ V เป็นต้นทุนผันแปรต่อหน่วย

          TC คือ ต้นทุนรวม

ดังนั้น TC = VN + F

การที่จะต้องให้ได้เท่าทุน   R   =  TC   หรือ PN = VN + F

เราสามารถคำนวณหาคำ   N   ได้

100 N = 20N + 200000

80 N = 200,000

N = 2,500 หน่วย

         เมื่อนำปัญหานี้มาเขียนกราฟ โดย แกน X แทนจำนวนหน่วย   แกน Y แทนจำนวนเงิน




ลักษณะของกราฟ
             แสดงให้เห็นจุดคุ้มทุน หรือจุดที่ได้กำไรเป็น 0  การเขียนกราฟทำให้ง่ายต่อการตัดสินใจและทำให้ทราบว่า ถ้าผลิตและขายได้จำนวนเท่าไร จึงจะได้กำไรหรือขาดทุน ทำให้การตัดสินใจทำได้ง่ายขึ้น

ปัญหาแบบไม่มีโครงสร้าง

 

                     ปัญหาส่วนใหญ่ที่พบเห็นกันทั่วไปเป็นปัญหาแบบไม่มีโครงสร้าง ปัญหาทั่วไปที่พบจะเป็นปัญหาที่เกี่ยวข้องกับความนึกคิดและอารมณ์ เช่น ปัญหาชีวิต ปัญหาระหว่างบุคคล ปัญหาความขัดแย้งที่เกิดขึ้นในสังคมหรือแม้แต่ปัญหาการเมือง ปัญหาระหว่างประเทศ

                     ลักษณะของปัญหาไม่มีโครงสร้าง เป็นปัญหาที่ไม่สามารถแทนด้วยสูตรหรือสมการทางคณิตศาสตร์ได้ การแก้ปัญหาแบบนี้จึงอยู่ที่ประสบการณ์และความจัดเจนในชีวิต ผู้ที่มีประสบการณ์หรือมองโลกที่กว้างไกล มีความรอบรู้และมีทักษะย่อมจะแก้ปัญหาแบบนี้ได้ดี

การสร้างโมเดลสำหรับปัญหา

                    เมื่อมีปัญหา สิ่งที่จะช่วยในการแก้ปัญหาได้คือ การสร้างแบบโมเดลของปัญหา ปัญหาบางแบบโดยเฉพาะปัญหาแบบโครงสร้างสามารถเขียนโมเดลของปัญหาได้ง่าย ปัญหาแบบไม่มีโครงสร้างอาจกำหนดรูปแบบและโมเดลของปัญหาได้ยาก การสร้างโมเดลเกี่ยวข้องกับการสร้างความสัมพันธ์ของตัวแปรซึ่งเป็นเรื่องทางคณิตศาสตร์ได้
ลักษณะของโมเดลจึงเกี่ยวข้องกับตัวแปรต่าง ๆ ตัวแปรบางตัวเป็นตัวแปรชัดเจนที่เขียนเป็นคณิตศาสตร์ได้ ตัวแปรบางตัวเป็นตัวแปรที่ไม่สามารถควบคุมหรือหารูปแบบแทนได้ ลักษณะของตัวแปรและความสัมพันธ์ของตัวแปรที่ประกอบเป็นปัญหา
 

ตัวอย่างของตัวแปรที่ควบคุมและมีความชัดเจน

เช่น โมเดลของการเงิน ที่เราเขียนเป็น

                                                                       P = R - C
เมื่อ P คือ กำไร
        R คือ รายได้
        C คือ ต้นทุน
                จะเห็นได้ชัดว่า ทั้ง R และ C เป็นตัวแปรที่ควบคุมได้และจัดการได้   ส่วน P คือตัวแปรผลลัพธ์ที่ต้องการ   ความสัมพันธ์ก่อให้เป็นปัญหาคือ R-C ซึ่งเป็นฟังก์ชันง่าย ๆ ในที่นี้ไม่มีตัวแปรที่ควบคุมไม่ได้เข้ามาเกี่ยวข้อง
                อย่างไรก็ดี การศึกษาทางคณิตศาสตร์ พบว่า ในชีวิตประจำวัน เราใช้รูปแบบการสร้างผลลัพธ์เหล่านี้อยู่มาก แม่ค้าในตลาดจะดำเนินกิจกรรมการค้า ก็มีโมเดลการค้าขายของตน และดูแลให้กิจการดำเนินอยู่ได้มีกำไร
           
ตัวอย่างหนึ่ง

เช่น ถ้าเราอยากมีเงินในอนาคต F บาท โดยการลงทุนฝากธนาคารด้วยเงินลงทุน P บาท การลงทุนครั้งนี้ใช้เวลา n ปี โดยคิดดอกเบี้ยอัตรา i บาทต่อปี

จากโมเดลนี้มีตัวแปร
P เป็น  ตัวแปรผลลัพธ์ (เงินปัจจุบัน)
F เป็น ตัวแปรที่ควบคุม (เงินในอนาคต)
i คือ  ตัวแปรที่ควบคุม (อัตราดอกเบี้ย)
n คือ  ตัวแปรที่ควบคุม (จำนวนปี)

เมื่อเขียนความสัมพันธ์ในรูปแบบปัญหาแบบมีโครงสร้างจะได้

เมื่อต้องการได้เงินในอนาคต 100,000 บาท โดยลงทุนด้วยอัตราดอกเบี้ย 10 เปอร์เซ็นต์ โดยลงทุน 5 ปี จะต้องใช้เงินในปัจจุบันเท่าไร

หมายความว่า ต้องนำเงินจำนวน 62,110 บาท ฝากธนาคารหรือลงทุนโดยคิดอัตราดอกเบี้ย 10 เปอร์เซ็นต์ ห้าปีจะได้เงิน 100,000 บาท
ตัวอย่างของโมเดลเหล่านี้สามารถเขียนเป็นโมเดลในตารางคำนวณหรือสเปรดชีตได้



https://web.ku.ac.th/schoolnet/snet2/knowledge_math/solve/solve.htm