การประยุกต์คณิตศาสตร์ ในวิทยาการทั่วไป

e - ลอการิทมิกธรรมชาติ

ค่า e เป็นค่าที่มีการใช้กันมานานแล้ว โดยไม่รู้ว่าใครเป็นต้นคิด หรือมีจุดเริ่มต้นมาอย่างไร ค่าของ e มีนิยามมาจาก

หากพิจารณาค่าจำกัดของ limit   พบว่าเทอม 1/x ทำให้มีค่าเป็นอนันต์   และ  1 + x   ทำให้มีค่าใกล้ 1   ดังนั้น ค่าผลลัพธ์ของ e จึงเป็นที่น่าสนใจ

ซึ่งเมื่อพิจารณาเพิ่มเติมจากกรณีนี้น่าได้

ค่าของ e มีค่าคุณสมบัติที่น่าสนใจ เพราะสามารถนำมาใช้ประโยชน์ได้    เช่น   ถ้าหาพื้นที่ใต้กราฟของฟังก์ชัน y = 1/x จากค่า  1  ถึง  e   จะมีค่าเท่ากับ  1  หรือเขียนได้เป็น

คุณสมบัติของ e ยังมีอีกหลายอย่าง ซึ่งใช้ในทางแคลคูลัส เช่น

และค่าที่ใช้คำนวณหาค่าของ e คือ

การแก้ปัญหาของออยเลอร์

ออยเลอร์ เสนอวิธีการแก้ปัญหานี้โดยการแทนพื้นดิน แต่ละแห่งเป็นจุดซึ่งเรียกว่า จุดเชื่อมโยง (Vertices) และเรียกสะพานซึ่งเป็นการเชื่อมระหว่างจุดเหล่านี้ว่า เส้นเชื่อมโยงระหว่างจุด (arcs) ดังนั้นสะพานเคอนิกส์เบอร์กจึงเขียนแทนด้วยเส้นข้ามสะพานระหว่าง Vertices กับ arcs

เมื่อเขียนเส้นเชื่อมระหว่างจุด ปัญหาสะพานทั้งเจ็ด มีลักษณะเป็นกราฟ ดังรูป

ปัญหานี้จึงอยู่ที่การลากเส้นด้วยดินสอโดยการเขียนเส้นโดยไม่ต้องยกดินสอออกจากกระดาษ โดยแต่ละเส้นที่เชื่อมระหว่างจุดจะมีการลากผ่านเพียงครั้งเดียว

สังเกตว่ามีจุด 4 จุด และมีด้าน (arc) อยู่ทั้งหมดเป็นเลขคี่ (ในนี้มี 7 arcs) เริ่มจากจุดใดจุดหนึ่งแล้วลากตามเส้น เพื่อให้ผ่านเส้นครั้งเดียว ลองทดลองดูจะเห็นว่าไม่สามารถทำได้

ออยเลอร์ได้ให้ทฤษฎีที่เกี่ยวกับปัญหานี้ไว้ดังนี้

               เครือข่าย ที่แสดงเป็นกราฟจะประกอบด้วยจุดเชื่อมโยง (Vertices) และเส้นเชื่อมโยงระหว่างจุด เรียกว่า arcs

               จุด ที่มีจำนวนเส้นที่เชื่อมออกไปยังจุดอื่นเป็นจำนวนคี่ เรียกว่า odd และถ้าจุดนั้นมีเส้นเชื่อมออกไปยังจุดอื่นเป็นจำนวนคู่ จะเรียกว่า even

               เส้นทางออยเลอร์ คือเส้นทางที่ลากผ่านเส้นต่าง ๆ ในเครือข่าย โดยแต่ละเส้นลากผ่านได้เพียงครั้งเดียว

               ทฤษฎีของออยเลอร์ กล่าวว่า ถ้าหากว่าเครือข่ายใดมีจุดที่เป็น odd มากกว่าสองขึ้นไป จะไม่มีทางสร้างเส้นทางออยเลอร์ได้

ลองพิจารณาจากปัญหากราฟต่อไปนี้

                                                                                                   

               มีเส้นทางออยเลอร์                                                                                  มีเส้นทางออยเลอร์

            

ไม่มีเส้นทางออยเลอร์ เพราะมีจุดที่มีจำนวนเส้นเชื่อมออกไปยังจุดอื่นเป็นจำนวนคี่ มากกว่า 2 จุด (4 จุด)


https://web.ku.ac.th/schoolnet/snet2/knowledge_math/euler_solve.htm

การประยุกต์ใช้กราฟในชีวิตประจำวัน

                ในชีวิตประจำวันเกี่ยวกับความคิด การตัดสินใจ หลายปัญหาสามารถใช้ทฤษฎีกราฟช่วยในการแก้ปัญหาได้ ตัวอย่างของการแก้ปัญหาด้วยกราฟเช่น

ปัญหาการจัดสรรทรัพยากร (assignment problem)

               สมจิต สมใจ สมคิด สมบูรณ์ และสมชาย เป็นบุคคลที่ได้รับการจัดสรรให้ทำงาน ซึ่งมีงานทั้นสิ้นห้างานคือ 1, 2, 3, 4 และ 5

• สมจิต ทำงานได้ทุกงาน
•  สมใจ ทำงานได้ทุกงาน ยกเว้นงานที่ 3
•  สมคิด ทำงานได้ เฉพาะงานที่ 1 และงานที่ 4
•  สมบูรณ์ ทำงานได้เฉพาะงานที่ 2, 4 และที่ 5
•  สมชาย ทำงานได้ทุกงาน

การแก้ปัญหาด้วยการแทนด้วยกราฟ เพื่อตรวจสอบดูว่ามีวิธีการจัดแบ่งงานให้กันทำได้อย่างไร

ปัญหานี้เห็นได้ชัดว่า งาน 3 มี สมจิต และสมชายทำได้ งาน 2 มีผู้ได้ 4 คน งาน 1 ก็มีผู้ทำได้ 4 คน ส่วนงาน 4 ทำได้ทุกคน งาน 5 ทำได้ 4 คน ซึ่งการจัดแบ่งงานอาศัยกราฟดูได้

ยังมีปัญหาอื่น ๆ ที่ทำได้ด้วยกราฟ เช่น

ปัญหาการเล่นเกม

              มีก้านไม้ขีดอยู่สองกอง กองหนึ่งมีจำนวน ก้านไม้ขีดอยู่ n ก้าน อีกกองหนึ่งมี n + 1 ก้าน การเล่นเกมนี้เล่นกันสองคน ทีมขาวและทีมดำ ซึ่งผลัดกันหยิบไม้ขีด โดยการหยิบไม้ขีดมีเงื่อนไขการหยิบดังนี้

              ผู้เล่นจะหยิบ หนึ่งก้านจากกองใดกองหนึ่งก็ได้ หรือจะหยิบก้านไม้ขีดออกจากทั้งสองกอง ละหนึ่งก้าน  ผู้หยิบก้านไม้ขีดคนสุดท้ายเป็นผู้ชนะ

ถ้าสมมุติให้ฝ่ายขาวเดินก่อน ให้ลองหาวิธีการเขียนกราฟ เพื่อใช้แทนปัญหานี้

การแก้ปัญหาการเล่นเกมก้านไม้ขีด

เกมก้านไม้ขีด มีสองกอง กองหนึ่งมี n ก้าน อีกกองหนึ่งมี n + 1 ก้าน  การแทนเกมอาจทำการลดโมเดลของเกมให้มีจำนวนก้านไม้ขีดให้เหลือน้อยลง  ลองดูการแทนโดยสมมุติเป็น 2 กอง   กองละ 3 ก้าน
และ 2 ก้าน

https://web.ku.ac.th/schoolnet/snet2/knowledge_math/graph3.htm